Rabu, 15 Januari 2014

Akar Kuadrat

Akar kuadrat

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Di dalam matematika, akar kuadrat dari bilangan x sama dengan bilangan r sedemikian sehingga r² = x, atau, di dalam perkataan lain, bilangan r yang bila dikuadratkan (hasil kali dengan bilangan itu sendiri) sama dengan x.

Setiap bilangan real tak-negatif, katakanlah x memiliki akar kuadrat tak-negatif yang tunggal, disebut akar kuadrat utama, yang dilambangkan oleh akar ke-n sebagai $\scriptstyle \sqrt{x}$ . Akar kuadrat dapat juga dituliskan dengan notasi eksponen, sebagai x^1/2. Misalnya, akar kuadrat utama dari 9 adalah 3, dituliskan dengan $\scriptstyle \sqrt{9} = 3$ , karena 3² = 3 × 3 = 9 dan 3 tak-negatif. Bagaimanapun, akar kuadrat utama dari sebuah bilangan positif hanya satu dari dua akar kuadratnya.

Setiap bilangan positif x memiliki dua akar kuadrat. Salah satunya adalah $\scriptstyle \sqrt{x}$ , yakni yang bernilai positif, sementara yang lainnya adalah $\scriptstyle -\sqrt{x}$ , yakni yang bernilai negatif. Kedua-dua akar kuadrat itu dilambangkan dengan $\scriptstyle \pm\sqrt{x}$ . Akar kuadrat dari bilangan negatif dibahas di dalam kerangka kajian bilangan kompleks. Lebih umum lagi, akar kuadrat dapat dipandang dari beraneka konteks di mana notasi "penguadratan" beberapa objek matematika didefinisi (termasuk aljabar matriks, gelanggang endomorfisma, dll).

Akar kuadrat dari bilangan bulat yang bukan merupakan kuadrat sempurna adalah selalu bilangan irasional (disebut juga bilangan takrasional: bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua bilangan bulat. Misalnya, $\scriptstyle \sqrt{2}$ tidak dapat dituliskan secara tepat oleh m/n, di mana n dan m adalah bilangan bulat. Meskipun demikian, ia adalah nilai yang pasti dari panjang diagonal sebuah persegi yang panjang sisinya sama dengan 1. Kejadian ini telah dikenal sejak zaman kuno, dengan ditemukannya bahwa $\scriptstyle \sqrt{2}$ adalah irasional oleh Hippasus, murid dari Pythagoras. (Lihat Akar kuadrat dari 2 untuk membuktikan ketakrasionalan bilangan ini dan irasional kuadrat untuk membuktikan semua bilangan asli yang bukan kuadrat)

Radikan adalah bilangan atau penyajian matematika di bawah tanda akar. Di dalam penyajian $\scriptstyle \sqrt[n]{ab+2}$ , ab + 2 adalah radikan.

Fungsi dan Linear

FUNGSI LINIER

A. Persamaan Fungsi Linier

Bentuk umum fungsi linier :

ax + by + c = 0

Curam/gradien (m) :

Persamaan garis yang melalui dua titik :

atau :

dimasukkan ke persamaan 2 :

Contoh :
1. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (2,5) dan (4,3).
Jawab :

2. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (3,2) dan (5,6). Jawab :

3. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (-6,3) dan memiliki     gradien 4 !
     Jawab :
                 y - y₁ = m(x - x₁)
                  y - 3 = 4(x+6)
                  y - 3 = 4x + 24
                        y = 4x + 24 + 3
                        y = 4x + 27

4. Tunjukkan persamaan garis yang melalui titik (12,10) dan
     memiliki gradien -3 !
     Jawab :
                 y - y₁ = m(x - x₁)
                 y - 10 = -3(x-12)
                 y - 10 = -3x + 36
                         y = -3x + 36 + 10
                         y = -3x + 46

Catatan :

Konstanta x yang bernilai positif menunjukkan garis bergradien positif atau bila digambarkan garisnya berbentuk lurus dari kiri bawah ke kanan atas.
Konstanta x yang bernilai negatif menunjukkan garis bergradien negatif atau bila digambarkan garisnya berbentuk lurus dari kiri atas ke kanan bawah.
Konstanta x menunjukkan gradien garis.

       Contoh :
                    y = 4x + 27
                    gradien garisnya 4.

                    y = -3x + 46
                    gradien garisnya -3.

B. Hubungan Antara Dua Garis Lurus

Hubungan	Bila
Berimpit	Persamaan yang satu merupakan kelipatan persamaan yang lain
Sejajar	Curam (m) sama
Berpotongan tegak lurus	m₁ . m₂ = -1

Contoh :1. Tentukan hubungan antara garis 4x-2y-10=0 dengan garis :
      a. 8x-4y-36=0
           Jawab :
                garis 1 :

garis 2 :

Karena m₁= m₂= 2 maka hubungan antara kedua garis adalah sejajar.

      b. 8x-4y-20=0           Jawab :
                      Karena garis 8x-4y-20=0 merupakan kelipatan dari garis
                      4x-2y-10=0 maka hubungannya adalah berimpit.

c. 2x+4y-10=0 Jawab :

garis 2 :

                garis 1 :                y = 2x - 5
                maka, m₁=2 dan m₂=-0,5
                m₁ . m₂ = -1
                2 . (-0,5) = -1

Jadi hubungan antara dua garisnya adalah berpotongan tegak lurus.

C. Perpotongan

Titik perpotongan antara dua garis adalah suatu titik di mana persamaan garis pertama sama dengan persamaan garis kedua.

Contoh :

1. Garis y=2x-5 berpotongan dengan garis y=3x+10 pada titik?

Jawab :

y₁ = y₂

2x - 5 = 3x + 10

2x - 3x = 10 + 5

-x = 15

x = -15

Jika x = 15

maka : y = 2x - 5

= 2 (-15) - 5

= -35

Jadi garis y = 2x - 5 dan y = 3x + 10 saling berpotongan

pada titik (-15,-35)

Titik perpotongan antara dua garis juga dapat dicari dengan metode eliminasi.

Contoh :

2. Carilah titik perpotongan antara garis 2x-4y+5=0 dan 4x-6y-2=0 !

Jawab :

                    y = 6
             2x - 4(6) + 5 = 0
             2x - 24 + 5 = 0
                     2x = 24 - 5
                     2x = 19
                       x = 9,5
         Jadi garis 2x-4y+5=0 berpotongan dengan garis 4x-6y-2=0
         pada titik (9,5 , 6).

Titik perpotongan juga bisa dicari dengan metode substitusi.Contoh :
3. Carilah titik potong antara garis 6x - 2y - 4 =0 dengan
     garis 4x - y + 5 = 0 !
     Jawab :
             6x - 2y - 4 = 0
             2y = 6x - 4
               y = (6x - 4)/2
               y = 3x - 2       ............... (a)

              Persamaan a kita masukkan ke persamaan kedua :
              4x - y +5 = 0
              4x - (3x - 2) + 5 = 0
              4x - 3x + 2 + 5 = 0
              x + 7 = 0
              x = -7

              Maka,
              6x - 2y - 4 = 0
              6(-7) - 2y - 4 = 0
              -42 - 2y - 4 = 0
              2y = -46
                y = -23

               Jadi garis 6x-2y-4=0 dengan garis 4x-y+5=0 berpotongan
               pada titik (-7,-23).

Aljabar

A. BENTUK ALJABAR dan UNSUR-UNSURNYA

Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

A. UNSUR - UNSUR ALJABAR

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p X q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 X x atau 5x = 1 X 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a2 dan a2, y dan 4y, ...

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x2, –y dan –x3, 5x dan –2y, ...

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3x, 2a2, –4xy, ...

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x + 3, a2 – 4, 3x2 – 4x, ...

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh: 2x2 – x + 1, 3x + y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak.

B. OPERASI HITUNG PADA ALJABAR

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis.

2. Perkalian

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a X (b + c) = (a X b) + (a X c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a X (b – c) = (a X b) – (a X c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

3. Perpangkatan

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b)n, dengan n bilangan asli.

Perhatikan uraian berikut:

Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya.

4. Pembagian

Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya.

5. Substitusi pada Bentuk Aljabar

Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut.

6. Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh berikut:

C. PECAHAN BENTUK ALJABAR

1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

2. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

a. Penjumlahan dan pengurangan

Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut:

b. Perkalian dan pembagian
Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Perhatikan contoh berikut:

c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. Perhatikan contoh berikut:

Logika Matematika

Logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Secara bahasa, logika berasal dari kata “logos” (bahasa Yunani), yang artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.

Pengertian Pernyataan dan Bukan Pernyataan

Sebelum membahas pernyataan, terlebih dahulu kita bahas pengertian kalimat. Kalimatadalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti.

Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam

2. 4 + 3 = 8

3. Frodo mencintai 1

4. Asep adalah bilangan ganjil

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Sementara contoh nomor 3 dan 4 adalah kalimat yang tidak mempunyai arti.

Sekarang perhatikan contoh di bawah ini!

1. Rapikan tempat tidurmu!

2. Apakah hari ini akan hujan?

3. Indah benar lukisan ini!

4. Berapa orang yang datang?

Kalimat di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Catatan:

Suatu pernyataan biasa kita simbolkan dengan huruf kecil p,q,r,s, dan sebagainya.

Kalimat Terbuka

Perhatikan contoh berikut ini!

1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya

2. seseorang memakai kacamata

3. 2x + 8y > 0

4. x + 2 = 8

Keempat contoh di atas belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat yang demikian itu dinamakan kalimat terbuka. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan.

Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian.

Contoh:

x + 2 = 8

x adalah variabel, 2 dan 8 adalah konstanta, dan x = 6 untuk x anggora bilangan real adalah selesaian.

Secara skematik, hubungan kalimat, pernyataan, dan kalimat terbuka dapat kita rumuskan sebagai berikut:

Pernyataan Majemuk

Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

: Merupakan lambang operasi untuk negasi

: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi

: Merupakan lambang operasi untuk implikasi

: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “

” atau “

”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya

p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya

p benar.

Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

B = benar

S = salah

Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!

1. p : kayu memuai bila dipanaskan (S)

-p: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)

2. r : 3 bilangan positif (B)

-r : (cara mengingkar seperti ini salah)

3 bilangan negatif

(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)

2) Pernyataan Majemuk

Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.

Contoh:

disebut konjungsi

disebut disjungsi

disebut Implikasi

disebut biimplikasi

3) Konjungsi ()

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. p : 5 bilangan prima (B)

q : 5 bilangan ganjil (B)

: 5 bilangan prima dan ganjil (B)

4) Disjungsi/ Alternasi ()

Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)

Dengan tabel kebenaran

ontoh:

1. p : 1 akar persamaan

(B)

q : -1 akar persamaan

(B)

: 1 atau -1 akar persamaan

(B)

2. p : Bogor di Jawa barat (B)

q : Bogor itu kota propinsi (S)

: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)

5) Implikasi/ Kondisional ()

boleh dibaca:

jika p maka q

q hanya jika p

p syarat perlu untuk q

q syarat cukup untuk p

p disebut anteseden atau hipotesis

q disebut konsekuen atau konklusi

Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.

Dengan tabel kebenaran

Contoh:

1. Jika 2 x 2 = 4, maka 4 : 2 = 2 (B)

(B) (B)

2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)

(S) (S)

6) Biimplikasi atau Bikondisional ()

boleh dibaca:

p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)

jika p maka q, dan jika q maka p

p syarat perlu dan cukup untuk q

q syarat perlu dan cukup untuk p

biimplikasi

bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.

Dengan tabel kebenaran